수직 이등분선

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 작도
- 4.1. 작도 방법
5. 일반화
- 5.1. 수직 이등분면
- 5.2. 수직 이등분 초평면
참조

1. 개요

수직 이등분선은 평면에서 선분의 중점을 지나면서 해당 선분과 수직으로 만나는 직선이다. 선분의 양 끝점으로부터 거리가 같은 점들의 자취이며, 이등변삼각형의 밑변 수직 이등분선은 꼭지각의 이등분선이자 중선이다. 삼각형의 세 변의 수직 이등분선은 한 점에서 만나며, 이 점은 외접원의 중심인 외심이다. 수직 이등분선은 작도를 통해 그릴 수 있으며, 3차원 공간에서는 수직 이등분면, 고차원 유클리드 공간에서는 수직 이등분 초평면으로 일반화된다.

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수직 이등분선

2. 정의

평면 위에서 선분 AB의 '''수직 이등분선'''은 선분 AB의 중점을 지나면서 선분 AB에 수직인 직선이다.

3. 성질

평면 위에서 선분 $AB$ 의 수직 이등분선은 두 끝점 $A,B$ 와 거리가 같은 점들의 자취이다. 즉, 평면 위의 점 $P$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$P$ 는 선분 $AB$ 의 수직 이등분선 위의 점이다.
$PA=PB$

평면 위에서

AB=AC

를 만족시키는 이등변 삼각형

\triangle ABC

의 밑변

BC

의 수직 이등분선은 삼각형

\triangle ABC

의 점

A

를 지나는 중선이자 각

\angle A

의 이등분선이다.

평면 위에서 원의 현의 수직 이등분선은 원의 중심을 지난다.

평면 위에서 삼각형의 세 변의 수직 이등분선은 공점선이다. 삼각형의 세 수직 이등분선의 교점은 삼각형의 외접원의 중심이며, 이를 삼각형의 외심이라고 한다.^[1]

4. 작도

주어진 선분의 수직 이등분선은 컴퍼스와 자를 이용하여 작도할 수 있다.

4. 1. 작도 방법

주어진 선분의 양 끝점을 중심으로 하고, 선분의 길이와 같은 반지름을 갖는 두 원을 그린다. 두 원의 교점을 잇는 직선을 그으면, 이 직선이 주어진 선분의 수직 이등분선이 된다.

5. 일반화

수직 이등분선은 3차원 이상의 고차원 공간으로 일반화될 수 있다.

5. 1. 수직 이등분면

5. 2. 수직 이등분 초평면

양의 정수

d

가 주어졌다고 하자.

d

차원 유클리드 공간

\mathbb R^d

에서, 선분

AB

의 '''수직 이등분 초평면'''(perpendicular bisecting hyperplane^영어)은 선분

AB

의 중점을 지나고 선분

AB

와 직교하는

(d-1)

차원 부분 아핀 공간이다. 이는

d=2

일 경우 수직 이등분선이고

d=3

일 경우 수직 이등분면이다.

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